Amostragem de sinal
Para iniciar o tema sobre amostragem de sinal é preciso entender quais são os dois tipos de sinal, o sinal analógico e o sinal digital, e o que são valores contínuos e valores discretos. Após essa introdução, devemos entender de onde vem o Teorema da Amostragem, quem desenvolveu e sua aplicação no cotidiano.
O que é sinal analógico?
O sinal analógico é um sinal contínuo que tem seu valor variado em função do decorrer do tempo. Normalmente o sinal analógico é ilustrado através de uma onda senoidal, uma série de parábolas que tem seu pico alternado sobre um centro.
O que é sinal analógico?
O sinal analógico é um sinal contínuo que tem seu valor variado em função do decorrer do tempo. Normalmente o sinal analógico é ilustrado através de uma onda senoidal, uma série de parábolas que tem seu pico alternado sobre um centro.
Supondo que o intervalo do pico da onda até sua base seja de 0 a 10 Volts, mesmo sendo representado por valores fixos, este sinal tem infinitos valores, sua onda passa por todos os intervalos possíveis, como por exemplo 0.001, 0.478, 5.721, 9.999...Por isso dizemos que o sinal analógico tem valores contínuos. Diante de sua infinita variação de valor e sua oscilação, a transmissão analógica era passível de interferência e ruídos, tornando-a não confiável.
Sinais analógicos são “vistos” por todo lugar, como as ondas da nossa voz, que poderia ser representada por um desenho similar ao acima.
O que é sinal digital?
O sinal digital é um sinal que transita entre dois estados, ligado e desligado, 0 e 1, mas isso não quer dizer que o seu valor varia de 0 Volts a 1 Volts. O sinal digital tem valores discretos, diferente do sinal analógico que tem variação infinita entre cada valor, o digital terá valores pontuais, como 1,2,3,4,5...
Por conta de o sinal digital variar abruptamente e não gradualmente para alcançar seu valor, por exemplo de 0V (Volts) a 5V (Volts), a geração de seu sinal se torna quadrada.
Harry Nyquist – Teorema da Amostragem
Um pouco sobre Harry Nyquist
Harry Nyquist nasceu em 1889 na Suécia, alguns anos depois entrou na Universidade da Dakota do Norte onde fez Bacharelado e Mestrado em Engenharia Elétrica subsequente a sua formação, Nyquist realizou seu PhD em física na Universidade de Yale, uma das mais renomadas universidades da Ivy League. Em 1917, Nyquist iniciou sua carreira profissional na AT&T, mais especificamente no departamento de pesquisas da empresa, saiu de lá após 17 anos de empresa e entrou nos Laboratórios Bell e permaneceu lá até sua aposentadoria em 1954. Durante seus anos trabalhando nos Laboratórios Bell, Nyquist fez um impressionante trabalho sobre ruídos térmicos em componentes eletrônicos e estabilidade e feedback de amplificadores. Junto de seu amigo Herbet E. Ives, Nyquist ajudou no desenvolvimento da primeira máquina de fax da AT&T onde publicou em papel sua pesquisa previamente dita, estabilidade e feedback de amplificadores, Critério de Estabilidade de Nyquist.
Físico e engenheiro eletrônico, Harry Nyquist fez uma contribuição muito importante para a comunicação que conhecemos hoje.
Enquanto estudava sobre processamento de sinais Nyquist estabeleceu uma representação, definiu que para a recriação de um sinal original contínuo ser representado funcionalmente idêntico, a taxa de amostragem necessitaria ser no mínimo duas vezes maior que a frequência máxima da onda original.
Teorema da Amostragem – Teorema de Nyquist
Amostragem instantânea é o processo de transformação de um sinal ou onda analógica em um conjunto de números discreto, estes valores discretos são as amostras, que não deixam de ser o valor de um ponto da onda em um determinado instante. Como por exemplo os sinais de rádios que por sua vez são ondas contínuas, onde o valor de seu sinal pode variar infinitamente dentro de sua onda, ao selecionar um determinado ponto no tempo desta onda, seu valor passa a ser representado por um sinal discreto.
Uma boa amostra deve ser aquela que seja possível recriar o sinal com precisão, isto é, a forma da onda originalmente representada em valores contínuos passa a ser representada por valores discreto de amostra que respeitando o intervalo de tempo não perca de definição.
Para que seja feito uma boa recriação do sinal original é necessário que a taxa de amostragem seja pelo menos maior ao dobro da frequência do sinal original, isto é, 2ωm sendo ωm a maior frequência do sinal original. Caso o sinal tenha um valor exatamente em ωm e as amostras respeitem o espaçamento de 1/(2ωm), isto é, taxa de amostragem igual a frequência do sinal original, não conseguirá uma boa recuperação do sinal.
A cópia perfeita do sinal é matematicamente possível, mas na prática sua criação chega somente a se aproximar, de toda forma, é uma aproximação muito fiel ao original.
Fórmulas e conceitos aplicados na matemática
Colocando os conceitos em ordem, se x(t) é a representação de um sinal contínuo no tempo e peguemos X(jω) a transformada de Fourier
X(t) é limitado em banda, sendo banda ω se X(jω) = 0 para qualquer |ω| > ωm.
A condição para a construção perfeita a partir das amostras em uma taxa de amostragem uniforme ωs, sendo ωs amostras por tempo: ωs > 2ωm ou ωm < (ωs/2).
2ωm é chamado de Taxa de Nyquist e ωs/2 é chamado de Frequência de Nyquist. E o Intervalo de Amostragem é representado por T = (1/ωs).
Aliasing
Como vimos, Nyquist definiu o que é necessário para a construção ideal de um sinal contínuo original. Porém se a taxa de amostras da função for menor do que dobro da frequência do sinal contínuo original, causará a perca de informações. Então na hora da recriação do sinal contínuo através dos valores discretos obtidos será gerado o Aliasing,
Observando a figura acima, os pontos vermelhos maiores são as amostras obtidas do sinal contínuo que por não obedecerem ao Teorema da Amostragem e ter sua frequência duas vezes maior que a do sinal original, quando é feito o processamento dessas informações de valores discretos em sinal contínuo novamente é perceptível que sua forma muda, gerando um dado totalmente diferente e com diversas percas de informação.
Resumidamente o Aliasing é causado pela baixa frequência de amostragem, pensando em uma solução rápida e genérica, o melhor a se fazer seria aumentar esta frequência de amostragem ultrapassando o dobro da original. Matematicamente falando, ter uma frequência de amostragem X vezes maior que a frequência máxima do sinal contínuo, sendo X pelo menos maior que o dobro de ωm, seria correto e eficaz, mas não é o que ocorre na aplicação do processamento de sinais.
Sampling, Oversampling e Downsampling
Amostragem ou Sampling, é quando se pega amostragens do sinal original duas vezes maior que a frequência máxima do mesmo, segundo o Teorema de Nyquist.
Representado por esta imagem, tem-se um sinal contínuo (linha cinza) onde foram coletadas amostras (pontos vermelhos), na frequência do dobro da frequência máxima do sinal, tornando possível a recriação de sua onda original após o processamento dos valores discretos (linha azul).
Sobre-amostragem ou Oversampling, é quando se pega amostragens do sinal original mais vezes do que o mínimo, segundo o Teorema de Nyquist.
Como pode ser analisado por esta imagem, tem-se um sinal contínuo (linha cinza) onde foram coletadas amostras (pontos vermelhos), na frequência do quadruplo da frequência máxima do sinal, tornando possível a recriação de sua onda original após o processamento dos valores discretos (linha azul).
A aquisição de mais amostras não interfere na construção de um sinal contínuo idêntico ao original, muito pelo contrário, favorece para que ele seja o mais fiel possível. Porém o processamento do sinal contínuo em valores discretos e o armazenamento das amostragens obtidas acabam ocupando muita memória, então deve tomar cuidado com o quanto de oversampling você precisa fazer, já que em algumas situações é viável sua utilização.
Decimação ou Undersampling, é quando se pega amostragens do sinal original menos vezes do que o mínimo, segundo o Teorema de Nyquist.
Analisando a imagem acima, tem-se um sinal contínuo (linha cinza) onde foram coletadas amostras (pontos vermelhos), na frequência inferior ao dobro da frequência máxima do sinal, neste caso uma frequência de metade da frequência máxima, tornando a recriação de sua onda original distorcida e com perca de informações após o processamento dos valores discretos (linha azul). Gerando o Aliasing, visto anteriormente.
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Referências Bibliográficas:
[01] R. Jagan Mohan Rao, “What are analog and digital signals? Differences, examples”. Inst Tools, ano. Diponível em: <https://instrumentationtools.com/what-are-analog-and-digital-signals-differences-examples/>.
[02] Harry Nyquist – Biography. ETHW, ano. Disponível em: <https://ethw.org/Harry_Nyquist>.
[03] J. J. Abdul, “The Shannon Sampling Theorem – Its Various Extensions and Application: A Tutorial Review”, in IEEE Access, vol. 65, NO. 11, Novembro 1977.
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